a/ Xét tg vuông ABM và tg vuông ACN có

\(\widehat{ABM}=\widehat{ACN}\) (Cùng phụ với \(\widehat{A}\) )

=> tg ABM đồng dạng với tg ACN (g.g.g)

\(\Rightarrow\dfrac{AN}{AM}=\dfrac{AC}{AB}\Rightarrow AN.AB=AM.AC\)

b/ Xét tg BDM và tg CDN có

\(\widehat{BDM}=\widehat{CDN}\) (góc đối đỉnh); \(\widehat{ABM}=\widehat{ACN}\) (cmt)

=> tg BDM đồng dạng tg CDN (g.g.g) 

\(\Rightarrow\dfrac{DB}{DC}=\dfrac{NB}{MC}=\dfrac{2}{3}\)

c/

Số cần tìm là \(\overline{abcd}\)

Nếu \(a>2\Rightarrow b=2xa>2x2=4\)

\(\Rightarrow c=2xb>2x4=8\Rightarrow d=c+3>8+3=11\) vô lý 

\(\Rightarrow a< 2\Rightarrow a=1\)

\(a=1\Rightarrow b=2xa=2\Rightarrow c=2xb=2x2=4\Rightarrow d=c+3=4+3=7\)

\(\Rightarrow\overline{abcd}=1247\)

a/

\(AB^2=BH.BC\) (Trong tg vuông bình phương 1 cạnh góc vuông băng tích giữa hình chiếu cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền với cạnh huyền)

\(\Rightarrow BH=\dfrac{AB^2}{BC}=\dfrac{12^2}{20}=7,2cm\)

\(\Rightarrow HC=BC-BH=20-7,2=12,8cm\)

\(AH^2=BH.HC\) (Trong tg vuông bình phương đường cao hạ từ đỉnh góc vuông xuống cạnh huyền bằng tích các hình chiếu của 2 cạnh góc vuông trên cạnh huyền)

\(\Rightarrow AH^2=7,2.12,8=92,16\Rightarrow AH=9,6cm\)

b/ Xem lại đề bài

c/

\(AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=\sqrt{20^2-12^2}=16cm\)

\(\dfrac{AD}{CD}=\dfrac{AB}{BC}\) (Trong một tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề với hai đoạn ấy)

\(\Rightarrow\dfrac{AD}{CD}=\dfrac{12}{20}=\dfrac{3}{5}\Rightarrow\dfrac{AD}{3}=\dfrac{CD}{5}=\dfrac{AD+CD}{3+5}=\dfrac{AC}{8}=\dfrac{16}{8}=2\)

\(\Rightarrow AD=6cm\)

Bình biết tích xy và đoán được ra 2 số x; y thì chắc chắn tích đó là tích của 2 số nguyên tố

Nên Khi bình nói là biết 2 số thì An cũng nghĩ ngay đến tổng mình biết phải là tổng của 2 số nguyên tố

Ví dụ: 

Tổng An biết là 12

Tích Bình biết là 35 => Bình biết ngay x=5 và y=7

Từ đó An đoán được 12=5+7

Kết luận x;y là số nguyên tố >1

a/

Ta có

\(DM\perp AH\left(gt\right);BC\perp AH\left(gt\right)\) => DM//BC (cùng vg với AH)

\(\Rightarrow\widehat{MDA}=\widehat{ACB}\) (góc so le trong)

\(\widehat{ACB}=\widehat{BAH}\) (cùng phụ với \(\widehat{ABC}\) )

\(\Rightarrow\widehat{MDA}=\widehat{BAH}\)

Xét tg vuông DAM và tg vuông AHB có

\(\widehat{MDA}=\widehat{BAH}\left(cmt\right)\)

DA = BA (cạnh bên tg cân)

=> tg DAM = tg AHB (2 tg vuông có cạnh huyền và góc nhọn tương ứng bằng nhau)

b/

Ta có

\(\widehat{NAE}=\widehat{BAH}\) (góc đối đỉnh)

\(\widehat{ACB}=\widehat{BAH}\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{NAE}=\widehat{ACB}\)

Xét tg vuông NAE và tg vuông ACH có

AE = AC (cạnh bên tg cân)

\(\widehat{NAE}=\widehat{ACB}\left(cmt\right)\)

=> tg NAE = tg ACH (2 tg vuông có cạnh huyền và góc nhọn tương ứng bằng nhau) => NE = AH

Mà tg DAM = tg AHB (cmt) => DM = AH

=> NE = DM

Xét tg vuông NEF và tg vuông MDF có

NE = DM (cmt)

\(\widehat{NFE}=\widehat{MFD}\) (góc đối đỉnh)

=> tg NEF = tg MDF (2 tg vuông có cạnh góc vuông và góc nhọn tương ứng bằng nhau) 

=> DF = EF

c/ Trên đoạn AH lấy K sao cho AK=AM

Ta có tg DAM = tg AHB (cmt) => AM = BH

=> AK = BH

Ta có tg NAE = tg ACH (cmt) => AN = CH

=>NK =  AK + AN = BH + CH = BC

Ta có tg NEF = tg MDF (cmt) => NF = MF mà AK = AM

=> NF + AK = MF + AM = AF

Mà (NF+AK)+(MF+AM) = NK

\(\Rightarrow\left(NF+AK\right)=\left(MF+AM\right)=\dfrac{1}{2}NK=\dfrac{1}{2}BC\)

\(\Rightarrow AF=MF+AM=\dfrac{1}{2}BC\)

a/

\(sđcungCM=sđcungDM\) (gt)

\(\Rightarrow MN\perp CD;CI=DI\) (Đường kính đi qua điểm giữa của 1 cung tròn thì vuông góc và chia đôi dây cung)

Xét tứ giác IKEN có

\(MN\perp CD\left(cmt\right)\Rightarrow\widehat{CIN}=90^o\)

\(\widehat{MEN}=90^o\) (góc nt chắn nửa đường tròn)

=> I và E cùng nhìn KN dưới 2 góc bằng nhau và \(=90^o\) => I và E thuộc đường tròn đường kính KN => tứ giác IKEN nội tiếp

b/

Xét tg MIE và tg MKN có

\(\widehat{EMN}\) chung

\(\widehat{MEI}=\widehat{MNK}\) (góc nt cùng chắn cung KI)

=> tg MIE đồng dạng tg MKN (g.g.g)

\(\Rightarrow\dfrac{EI}{NK}=\dfrac{ME}{MN}\Rightarrow EI.MN=NK.ME\)

c/

Xét tg MNP có

\(CD\perp MN\left(cmt\right)\Rightarrow PI\perp MN\Rightarrow\widehat{PIN}=90^o\)

\(\widehat{MEN}=90^o\left(cmt\right)\Rightarrow ME\perp NP\)

=> K là trực tâm của tg MNP \(\Rightarrow NK\perp MP\) tại Q \(\Rightarrow\widehat{PQN}=90^o\)

=> I và Q cùng nhìn PN dưới 2 góc bằng nhau và \(=90^o\) => I và Q thuốc đường tròn đường kính PN

\(\Rightarrow\widehat{PNQ}=\widehat{PIQ}\) (góc nt cùng chắn cung PQ)

Xét tứ giác nt IKEN có

\(\widehat{PNQ}=\widehat{PIE}\) (góc nt cùng chắn cung KE)

\(\Rightarrow\widehat{PIQ}=\widehat{PIE}\) => IK là phân giác \(\widehat{EIQ}\)

a/

Gọi d là UC(n+2; n+3) thì

\(n+2⋮d;n+3⋮d\Rightarrow n+3-\left(n+2\right)=1⋮d\Rightarrow d=1\)

=> n+2 và n+3 là 2 số nguyên tố cùng nhau \(\forall n\)

b/

Gọi d là UC(2n+1; 9n+4) thì

\(2n+1⋮d\Rightarrow18n+9⋮d\)

\(9n+4⋮d\Rightarrow18n+8⋮d\)

\(\Rightarrow\left(18n+9\right)-\left(18n+8\right)=1⋮d\)

=> 2n+1 và 9n+4 là 2 số nguyên tố cùng nhau \(\forall n\)

2 lần tuổi bố lớn hơn tổng tuổi của 2 bố con là 18 tuổi, nên

Hiệu tuổi bố và tuổi con là 18 tuổi

Tuổi con là

18-6=12 tuổi

Tuổi bố là

12+18=30 tuổi

Phân số chỉ lượng nước vòi 1 chảy trong 1 giờ là

\(1:8=\dfrac{1}{8}\) bể

Phân số chỉ lượng nước vòi 2 chảy trong 1 giờ là

\(1:12=\dfrac{1}{12}\) bể

Phân số chỉ lượng nước 2 vòi cùng chảy trong 1 giờ

\(\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{12}=\dfrac{5}{24}\) bể

Phân số chỉ lượng nước 2 vòi cùng chảy trong 6 giờ là

\(\dfrac{5}{24}x6=\dfrac{5}{4}\) bể

Lượng nước chảy qua lỗ thủng trong 6 giờ là

\(\dfrac{5}{4}-1=\dfrac{1}{4}\) bể

Lượng nước chảy qua lỗ thủng trong 1 giờ là

\(\dfrac{1}{4}:6=\dfrac{1}{24}\) bể

Thời gian lỗ thủng làm cạn bể là

\(1:\dfrac{1}{24}=24\) giờ

Xét tg vuông BHE và tg vuông BGC có \(\widehat{CBG}\) chung

=> tg BHE đồng dạng với tg BGC \(\Rightarrow\dfrac{BE}{BC}=\dfrac{BH}{BG}\Rightarrow BE.BG=BH.BC\)

Xét tg vuông ABC có

\(BA^2=BH.BC\) (Trong tg vuông bình phương 1 cạnh góc vuông bằng tích giữa hình chiếu cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền với cạnh huyền)

Mà BF = BA (gt)

\(\Rightarrow BF^2=BH.BC\)

\(\Rightarrow BE.BG=BF^2\)

Xét tg BEF và tg BFG có

\(\widehat{GBF}\) chung

\(BE.BG=BF^2\left(cmt\right)\Rightarrow\dfrac{BE}{BF}=\dfrac{BF}{BG}\)

=> tg BEF đồng dạng với tg BFG (c.g.c) \(\Rightarrow\widehat{BEF}=\widehat{BFG}\)